№8. 1. Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Указать: 1) плоскости, которым принадлежит: а) прямая AB; б) точка F; в) точка C. 2) прямую пересечения плоскостей: а) ABC и ACD; б) ABD и DCF. 2. Дано: точка M лежит вне плоскости α, а точки A, B и C принадлежат этой плоскости. 1) Принадлежит ли точка F плоскости α? 2) Указать прямую пересечения плоскостей: а) α и ABM; б) ABM и BMC. 3) Может ли точка E принадлежать плоскости α? 4) Принадлежит ли прямая AC плоскости MBC?

1. Так как любые три из некомпланарных точек задают плоскость, рассматриваем плоскости ABC, ABD, ACD и BCD.

1. а) Прямая AB принадлежит плоскостям ABC и ABD, так как точки A и B лежат в каждой из них.
2. б) Точка F лежит на прямой BC, поэтому она принадлежит плоскостям ABC и BCD.
3. в) Точка C принадлежит плоскостям ABC, ACD и BCD.

2.

1. а) Плоскости ABC и ACD имеют общие точки A и C. Поэтому их пересечение — прямая AC.
2. б) Плоскости ABD и DCF имеют общие точки D и B? На рисунке точка B не принадлежит плоскости DCF, поэтому общими являются точки D и F? Точка F лежит на прямой BC, а плоскость DCF содержит прямую DF. Следовательно, по рисунку пересечение плоскостей ABD и DCF — прямая DF.

2.1. Точка F лежит на отрезке MB между точками M и B. Поскольку M не принадлежит плоскости α, а прямая MB пересекает плоскость α в точке B, точка F не принадлежит плоскости α.

Ответ: нет.

2.2.

1. а) Плоскости α и ABM имеют общие точки A и B. Их пересечение — прямая AB.
2. б) Плоскости ABM и BMC имеют общие точки B и M. Их пересечение — прямая BM.

2.3. Точка E лежит на прямой MA между M и A. Прямая MA пересекает плоскость α в точке A, поэтому E плоскости α не принадлежит.

Ответ: нет.

2.4. Прямая AC не принадлежит плоскости MBC, потому что точка A не лежит в плоскости MBC, а точка C лежит в ней.

Ответ: нет.