8. (2 балла) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = mo-2^(-t/T), где mo — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 184 мг. Период его полураспада составляет 7 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 23 мг.

Решение:

По условию задачи нам дано:

• Начальная масса изотопа \( m_0 = 184 \) мг.
• Период полураспада \( T = 7 \) мин.
• Конечная масса изотопа \( m(t) = 23 \) мг.
• Закон распада: \( m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ 23 = 184 \cdot 2^{-\frac{t}{7}} \]

Разделим обе части уравнения на 184:

\[ \frac{23}{184} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Представим \( \frac{1}{8} \) как степень числа 2:

\[ \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Так как основания степеней равны, равны и показатели:

\[ -3 = -\frac{t}{7} \]

Умножим обе части на -7:

\[ (-3) \cdot (-7) = t \]

\[ t = 21 \]

Время \( t \) измеряется в минутах, так как период полураспада дан в минутах.

Ответ: 21 минута.