Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика8. (3 б) Спростіть вираз (m² + n²)/(1/(m²+n²)) - (m+n)/(1/(m²+n²)) * mn⁻¹
Ответ:
Решение:
Запишем выражение:
\( \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{1}{m^2 + n^2}} - \frac{m+n}{\frac{1}{m^2 + n^2}} \right) \cdot mn^{-1} \)
Сначала упростим дроби, деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
\( \frac{m^2 + n^2}{\frac{1}{m^2 + n^2}} = (m^2 + n^2) \cdot (m^2 + n^2) = (m^2 + n^2)^2 \)
\( \frac{m+n}{\frac{1}{m^2 + n^2}} = (m+n) \cdot (m^2 + n^2) \)
Теперь подставим обратно в скобки:
\( (m^2 + n^2)^2 - (m+n)(m^2 + n^2) \)
Вынесем общий множитель \( (m^2 + n^2) \) за скобки:
\( (m^2 + n^2) [ (m^2 + n^2) - (m+n) ] \)
Раскроем скобки внутри:
\( (m^2 + n^2) [ m^2 + n^2 - m - n ] \)
Теперь умножим на \( mn^{-1} = \frac{m}{n} \):
\( \frac{m}{n} \cdot (m^2 + n^2) (m^2 + n^2 - m - n) \)
Раскроем скобки:
\( \frac{m}{n} \cdot (m^4 + m^2n^2 - m^3 - m^2 + n^2m^2 + n^4 - mn^2 - n^3) \)
\( \frac{m}{n} \cdot (m^4 + 2m^2n^2 - m^3 - m^2 - mn^2 - n^3 + n^4) \)
Умножим каждый член на \( \frac{m}{n} \):
\( \frac{m^5}{n} + \frac{2m^3n^2}{n} - \frac{m^4}{n} - \frac{m^3}{n} - \frac{m^2n}{n} - \frac{m n^3}{n} + \frac{mn^4}{n} \)
Упростим:
\( \frac{m^5}{n} + 2m^3n - \frac{m^4}{n} - \frac{m^3}{n} - m^2 - mn^2 + mn^3 \)
Это выражение ещё можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные.
Вернёмся к выражению:
\( (m^2 + n^2) [ m^2 + n^2 - m - n ] \cdot \frac{m}{n} \)
Давайте проверим, нет ли опечатки в условии. Если последнее умножение - это просто $$mn^{-1}$$, а не на всю скобку.
Если же вынесение за скобки было правильным:
\( (m^2 + n^2) [ m^2 + n^2 - m - n ] \)
Возможно, здесь был более простой путь.
Рассмотрим выражение до умножения на $$mn^{-1}$$:
\( (m^2 + n^2)^2 - (m+n)(m^2 + n^2) \)
\( = (m^2+n^2) [ (m^2+n^2) - (m+n) ] \)
\( = (m^2+n^2) [ m^2 - m + n^2 - n ] \)
Теперь умножим на $$mn^{-1} = m/n$$:
\( \frac{m}{n} \cdot (m^2+n^2) (m^2 - m + n^2 - n) \)
Раскроем скобки:
\( \frac{m}{n} \cdot (m^4 - m^3 + m^2n^2 - mn^2 + m^2n^2 - mn^2 + n^4 - n^3) \)
\( \frac{m}{n} \cdot (m^4 - m^3 + 2m^2n^2 - 2mn^2 + n^4 - n^3) \)
\( = \frac{m^5}{n} - \frac{m^4}{n} + 2m^3n - 2m^2n - \frac{m n^3}{n} + \frac{mn^4}{n} \)
\( = \frac{m^5}{n} - \frac{m^4}{n} + 2m^3n - 2m^2n - mn^2 + mn^3 \)
Возможно, это имелось в виду:
\( \frac{m^2 + n^2}{1} \cdot \frac{1}{m^2 + n^2} - \frac{m+n}{1} \cdot \frac{1}{m^2 + n^2} \cdot mn^{-1} \)
\( = 1 - \frac{m+n}{m^2 + n^2} \cdot \frac{m}{n} \)
\( = 1 - \frac{m(m+n)}{n(m^2 + n^2)} \)
\( = 1 - \frac{m^2+mn}{nm^2+n^3} \)
\( = \frac{nm^2+n^3 - (m^2+mn)}{nm^2+n^3} \)
\( = \frac{nm^2+n^3 - m^2 - mn}{nm^2+n^3} \)
Если интерпретировать как:
\( \frac{m^2 + n^2}{1} / (m^2 + n^2) - \frac{m+n}{1} / (m^2 + n^2) \cdot mn^{-1} \)
\( = 1 - \frac{m+n}{m^2 + n^2} \cdot \frac{m}{n} \)
\( = 1 - \frac{m^2+mn}{nm^2+n^3} \)
\( = \frac{nm^2+n^3 - m^2 - mn}{nm^2+n^3} \)
В условии задачи есть некоторая неоднозначность в записи дробей. Примем, что $$\frac{1}{m^2+n^2}$$ это знаменатель.
Тогда:
\( (m^2+n^2) \cdot (m^2+n^2) - (m+n) \cdot (m^2+n^2) \cdot mn^{-1} \)
\( = (m^2+n^2)^2 - (m+n)(m^2+n^2) \frac{m}{n} \)
\( = (m^2+n^2) [ (m^2+n^2) - (m+n)\frac{m}{n} ] \)
\( = (m^2+n^2) [ m^2+n^2 - \frac{m^2+mn}{n} ] \)
\( = (m^2+n^2) [ \frac{nm^2+n^3 - m^2 - mn}{n} ] \)
\( = \frac{(m^2+n^2)(nm^2+n^3 - m^2 - mn)}{n} \)
Если же $$\frac{1}{3}$$ и $$\frac{1}{1}$$ это отдельные дроби, а не степени, то:
\( \frac{m^2+n^2}{1} \cdot \frac{1}{3} - \frac{m+n}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot mn^{-1} \)
\( = \frac{m^2+n^2}{3} - (m+n) \frac{m}{n} \)
\( = \frac{m^2+n^2}{3} - \frac{m^2+mn}{n} \)
\( = \frac{n(m^2+n^2) - 3(m^2+mn)}{3n} \)
\( = \frac{nm^2+n^3 - 3m^2 - 3mn}{3n} \)
Наиболее вероятная интерпретация:
\( \left( \frac{m^2 + n^2}{1} / \frac{1}{m^2 + n^2} - \frac{m+n}{1} / \frac{1}{m^2 + n^2} \right) \cdot mn^{-1} \)
\( = [ (m^2+n^2)^2 - (m+n)(m^2+n^2) ] \cdot \frac{m}{n} \)
\( = (m^2+n^2) [ (m^2+n^2) - (m+n) ] \frac{m}{n} \)
\( = (m^2+n^2) [ m^2+n^2-m-n ] \frac{m}{n} \)
\( = \frac{m}{n} (m^2+n^2)(m^2-m+n^2-n) \)
\( = \frac{m}{n} (m^4-m^3+m^2n^2-mn^2 + m^2n^2-mn^2+n^4-n^3) \)
\( = \frac{m}{n} (m^4-m^3+2m^2n^2-2mn^2+n^4-n^3) \)
\( = \frac{m^5}{n} - \frac{m^4}{n} + 2m^3n - 2m^2n - mn^2 + mn^3 \)
Ответ: \( \frac{m^5}{n} - \frac{m^4}{n} + 2m^3n - 2m^2n - mn^2 + mn^3 \)
Похожие
