8.7. Айналмалы кез келген мәніне өрнектің мәні 1-ге тең болатындай дәлелдеңдер: 1) (a⁵)⁶ · (a⁴b²)⁷ : (a²⁹b⁷)²; 2) (a⁴b⁵)³ · (a⁸b⁹) : (a¹⁰b¹²)²; 3) (c⁸)⁶ · (d¹⁸)³ : (c⁸d⁹)⁶; 4) (x¹¹y²)⁴ · (y⁵)² : (x²²y⁹)².

Задание переведено с казахского: Докажите, что при любом допустимом значении переменных значение выражения равно 1.

Используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.

1. (a⁵)⁶ · (a⁴b²)⁷ : (a²⁹b⁷)² = a³⁰ · a²⁸b¹⁴ : a⁵⁸b¹⁴ = a⁵⁸b¹⁴ : a⁵⁸b¹⁴ = 1.

   (a ≠ 0, b ≠ 0) (a и b не равны нулю).

2. (a⁴b⁵)³ · (a⁸b⁹) : (a¹⁰b¹²)² = a¹²b¹⁵ · a⁸b⁹ : a²⁰b²⁴ = a²⁰b²⁴ : a²⁰b²⁴ = 1.

   (a ≠ 0, b ≠ 0) (a и b не равны нулю).

3. (c⁸)⁶ · (d¹⁸)³ : (c⁸d⁹)⁶ = c⁴⁸ · d⁵⁴ : c⁴⁸d⁵⁴ = 1.

   (c ≠ 0, d ≠ 0) (c и d не равны нулю).

4. (x¹¹y²)⁴ · (y⁵)² : (x²²y⁹)² = x⁴⁴y⁸ · y¹⁰ : x⁴⁴y¹⁸ = x⁴⁴y¹⁸ : x⁴⁴y¹⁸ = 1.

   (x ≠ 0, y ≠ 0) (x и y не равны нулю).

Во всех четырёх случаях числитель равен знаменателю, следовательно, значение выражения равно 1.