8.- a) sin x = 1/2;

Решение:

Чтобы найти значение \(x\), нужно найти арксинус от \( \frac{1}{2} \).

\( x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \)

Известно, что \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \).

Значит, одно из решений: \( x = \frac{\pi}{6} \).

Так как синус является периодической функцией с периодом \( 2\pi \), а также симметричен относительно оси \(y\) (т.е. \( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \)), то общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид:

\[ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

В нашем случае:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Для \(n=0\): \( x = \frac{\pi}{6} \)

Для \(n=1\): \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \)

Для \(n=2\): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \)

Для \(n=-1\): \( x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \)

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).