8. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямой параллелепипед, ABCD — ромб, BD : AC = 8 : 15, S′ABCD = 240, ∠BB₁D = 45°. Найдите Sполн.

Пусть диагонали ромба равны \(BD=8k\) и \(AC=15k\). Площадь основания:

\[S_{ABCD}=\frac{BD\cdot AC}{2}=\frac{8k\cdot15k}{2}=60k^2=240.\]

Отсюда \(k^2=4\), поэтому \(k=2\), а диагонали равны \(BD=16\), \(AC=30\).

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона основания:

\[a=\sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2+\left(\frac{30}{2}\right)^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BB_1D\). Так как \(BB_1\perp(ABCD)\), то \(BB_1\perp BD\), а угол \(BB_1D=45^\circ\). Следовательно, треугольник равнобедренный прямоугольный:

\[BB_1=BD=16.\]

Периметр основания \(P=4a=68\). Боковая площадь:

\[S_{\text{бок}}=Ph=68\cdot16=1088.\]

Полная площадь:

\[S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{ABCD}=1088+2\cdot240=1568.\]

Ответ: \(1568\).