8. АС — касательная, а АВ — хорда окружности с центром в точке О, угол АОВ равен 70 градусов. Чему равен угол ВАС?

Дано:

• Окружность с центром О.
• АС — касательная к окружности в точке А.
• АВ — хорда окружности.
• ∠AOB = 70°.

Найти:

• ∠BAC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы окружности, следовательно, OA = OB.
2. Треугольник AOB — равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
3. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.
4. 70° + 2 ∠OAB = 180°.
5. 2 ∠OAB = 180° - 70° = 110°.
6. ∠OAB = 110° / 2 = 55°.
7. Касательная AC перпендикулярна радиусу OA в точке касания A. Следовательно, ∠OAC = 90°.
8. ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.
9. ∠BAC = 90° - 55° = 35°.

Ответ: 35°