8) CH = x. На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция, BC = 5, AD = 13; диагонали перпендикулярны, а CH ⟂ AD. Найдите x.

Пусть основания трапеции горизонтальны. В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределена по краям, поэтому горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен

\((13-5)/2=4\).

Возьмём координаты A=(0,0), D=(13,0), B=(4,x), C=(9,x). Тогда векторы диагоналей AC=(9,x) и BD=(9,-x). Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\(9\cdot 9+x(-x)=0\), откуда \(x^2=81\). Высота положительна, значит \(x=9\).

Ответ: 9.