8. Дано: AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°, ∠BCD = 90°. Найти BC.

Так как AD параллельна BC, угол между BD и AD равен углу между BD и BC, то есть 45°. В треугольнике ABD угол ABD равен 135° − 45° = 90°. Поэтому треугольник ABD — прямоугольный, а при угле ADB = 45° он равнобедренный; BD = AD / √2 = 15√2.

Треугольник BCD прямоугольный, и ∠BDC = 45°, значит, он равнобедренный прямоугольный. Его катет BC равен гипотенузе BD, делённой на √2: BC = 15√2 / √2 = 15.

Ответ: BC = 15.