8. Дано: AD = 30; ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, ∠ABC = 135°. Найти BC.

В треугольнике BCD сумма углов равна 180°:

∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°.

Значит, треугольник BCD равнобедренный прямоугольный, поэтому BC = CD. По рисунку BC ∥ AD, а CD ⟂ BC, следовательно, CD ⟂ AD. Обозначим BC = CD = x.

Угол между BA и горизонтальным основанием AD равен 45°: внутренний угол ABC равен 135°, а угол между BC и горизонталью — 0°. Поэтому горизонтальное расстояние от A до вертикали через B равно вертикальной высоте x. Из геометрии рисунка эта высота составляет разность AD − BC, то есть x = 30 − x.

2x = 30, откуда x = 15.

Ответ: BC = 15.