8. Дано: AD = 30. На рисунке BC ∥ AD, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, ∠ABC = 135°. Найти BC.

В треугольнике BCD углы при C и D равны 90° и 45°, поэтому угол CBD тоже равен 45°. Следовательно, треугольник BCD равнобедренный прямоугольный и \(BC=CD\).

Так как \(BC\parallel AD\), углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при секущей BD. Значит, \(\angle BDA=45°\). Угол между BA и BD равен \(\angle ABC-\angle CBD=135°-45°=90°\). Поэтому треугольник ABD прямоугольный, а его острые углы равны 45°; гипотенуза AD = 30.

В таком треугольнике \(BD=30/\sqrt{2}=15\sqrt{2}\). В треугольнике BCD гипотенуза BD, поэтому \(BC=BD/\sqrt{2}=15\).

Ответ: BC = 15.