8. Дано: трапеция ABCD, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

Так как BC ∥ AD и CD ⟂ BC, высота трапеции равна CD. Угол BDC равен 45°, поэтому прямоугольный треугольник BCD равнобедренный: BC = CD.

Из ∠ABC = 135° следует, что острый угол между BA и горизонтальным основанием равен 45°. Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном стороной AB и высотой, горизонтальный сдвиг от A до проекции B равен высоте CD.

Поэтому AD = BC + CD = 2BC. Тогда BC = 30 / 2 = 15.

Ответ: BC = 15.