8. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть угол ABD = 65° и угол ADB = 50°.

В параллелограмме ABCD, так как AD || BC, то угол CBD = угол ADB = 50° (как накрест лежащие при секущей BD).

Аналогично, так как AB || DC, то угол BDC = угол ABD = 65° (как накрест лежащие при секущей BD).

Углы параллелограмма:

Угол А = Угол ABD + Угол ADB = 65° + 50° = 115°.

Угол C = Угол ABD + Угол ADB = 65° + 50° = 115° (как противоположные углы параллелограмма).

Угол B = Угол ABC = Угол ABD + Угол CBD = 65° + 50° = 115°.

Угол D = Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = 50° + 65° = 115°.

Проверка: сумма углов равна 360° (115° * 4 = 460° - ошибка в рассуждении. Углы B и D, A и C - противоположные. Углы, смежные с ними, в сумме дают 180).

Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в нем: угол A + угол ABD + угол ADB = 180°.

Если угол ABD = 65°, а угол ADB = 50°, то угол A = 180° - (65° + 50°) = 180° - 115° = 65°.

Это противоречит условию, что углы образуются с СТОРОНАМИ. Значит, углы, которые диагональ BD образует со сторонами — это:

Угол ABD = 65° и угол CBD = 50° (или наоборот).

Если Угол ABD = 65°, то Угол B = 65° + 50° = 115°.

Угол A = 180° - Угол B = 180° - 115° = 65°.

Меньший угол параллелограмма = 65°.

Ответ: 65