8. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. AO = 16 см. Угол ABO равен 30 градусов. Найдите углы ромба и его периметр.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому треугольник AOB прямоугольный, ∠AOB = 90°.

Диагональ BD делит угол B ромба пополам. Значит, ∠ABC = 2 · ∠ABO = 2 · 30° = 60°. Противоположный угол D также равен 60°, а соседние углы A и C равны 180° − 60° = 120°.

В прямоугольном треугольнике AOB сторона AO лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы AB. Следовательно, AB = 2 · AO = 32 см. Периметр ромба равен 4 · 32 = 128 см.

Ответ: ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; периметр — 128 см.