8. Докажите, что если два равных отрезка пересекаются в их общей середине, то их концы являются вершинами прямоугольника.

Пусть равные отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(O\) — середина каждого отрезка. Тогда диагонали четырёхугольника \(ABCD\) взаимно делятся пополам. Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

По условию диагонали этого параллелограмма равны: \(AC=BD\). Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Следовательно, точки \(A, B, C, D\) — вершины прямоугольника.