8. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Найдите угол этого ромба, если его сторона равна одной из сторон прямоугольника.

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, а \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно. По теореме о средней линии треугольника:

В треугольниках \(ABC, BCD, CDA, DAB\) отрезки, соединяющие середины сторон, параллельны диагоналям прямоугольника и равны их половинам. Поэтому \(MN=NP=PQ=QM\), значит, \(MNPQ\) — ромб.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\). Сторона ромба равна половине диагонали прямоугольника, то есть \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\). Если она равна стороне прямоугольника \(a\), то \(a^2+b^2=4a^2\), откуда \(b=\sqrt{3}a\).

Диагонали ромба параллельны сторонам прямоугольника, а их длины равны \(a\) и \(b\). Для угла \(\alpha\) ромба отношение диагоналей равно \(\tan(\alpha/2)\) либо обратному ему. При отношении сторон прямоугольника \(1:\sqrt{3}\) острый угол ромба равен \(60^\circ\), а второй угол — \(120^\circ\). Если равной стороне ромба является другая сторона прямоугольника, результат тот же: углы ромба составляют \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.