8) \(\frac{x}{2x + 6} = \frac{2}{x}\)

Решение:

1. Перенесем все в левую часть, чтобы получить уравнение с одной стороны:
   • \[ \frac{x}{2x + 6} - \frac{2}{x} = 0 \]
2. Приведем к общему знаменателю \(x(2x+6)\):
   • \[ \frac{x \cdot x}{(2x + 6)x} - \frac{2(2x + 6)}{x(2x + 6)} = 0 \]
   • \[ \frac{x^2 - 2(2x + 6)}{x(2x + 6)} = 0 \]
3. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.
   • \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]
   • \[ x(2x + 6)
     eq 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 12 = 0\):
   • Найдем дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64\)
   • Найдем корни:
   • \[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
   • \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
5. Проверим знаменатель:
   • При \(x=6\): \(6(2(6)+6) = 6(12+6) = 6(18)
     eq 0\)
   • При \(x=-2\): \(-2(2(-2)+6) = -2(-4+6) = -2(2) = -4
     eq 0\)

Ответ: x = 6, x = -2