8. Функция задана формулой \(f(x) = 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\). Решите неравенство \(f'(x) \ge 0\).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\): \(f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) = 2 + \frac{2x}{2} - \frac{3x^2}{3} = 2 + x - x^2\).
2. Шаг 2: Решим неравенство \(f'(x) \ge 0\), то есть \(-x^2 + x + 2 \ge 0\).
3. Шаг 3: Умножим неравенство на -1, сменив знак: \(x^2 - x - 2 \le 0\).
4. Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\). Используем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\). \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\). \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\).
5. Шаг 5: Парабола \(y = x^2 - x - 2\) имеет ветви, направленные вверх. Неравенство \(x^2 - x - 2 \le 0\) выполняется между корнями.
6. Шаг 6: Таким образом, решение неравенства \(f'(x) \ge 0\) есть \(-1 \le x \le 2\).

Ответ: \([-1; 2]\)