9. Найдите все корни уравнения 5·9^x + 2·15^x - 3·25^x = 0.

Решение:

Запишем уравнение:

\[ 5 \cdot 9^x + 2 \cdot 15^x - 3 \cdot 25^x = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( 25^x \) (заметим, что \( 25^x \) никогда не равно 0):

\[ 5 \cdot \frac{9^x}{25^x} + 2 \cdot \frac{15^x}{25^x} - 3 = 0 \]

Перепишем дроби:

\[ 5 \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^x + 2 \cdot \left(\frac{15}{25}\right)^x - 3 = 0 \]

\[ 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x - 3 = 0 \]

Введём замену: \( t = \left(\frac{3}{5}\right)^x \). Тогда \( t^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} \).

Получаем квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ 5t^2 + 2t - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант: \( D = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 \).

Корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]\[ t_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Теперь вернемся к замене. У нас \( t = \left(\frac{3}{5}\right)^x \).

1. \( t = -1 \) — это уравнение не имеет решений, так как \( \left(\frac{3}{5}\right)^x \) всегда положительно.

2. \( t = \frac{3}{5} \) — значит \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5} \). Следовательно, \( x = 1 \).

Ответ: x = 1.