8. Какой цифрой оканчивается число 582^2048?

Решение:

Чтобы определить последнюю цифру числа \( 582^{2048} \), достаточно рассмотреть последнюю цифру основания — 2.

Рассмотрим, как меняется последняя цифра степени числа 2:

• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \) (последняя цифра 6)
• \( 2^5 = 32 \) (последняя цифра 2)

Последние цифры степеней числа 2 образуют цикл: 2, 4, 8, 6. Длина этого цикла — 4.

Чтобы узнать, какая цифра будет последней в \( 582^{2048} \), нужно найти остаток от деления показателя степени (2048) на длину цикла (4).

\( 2048 \div 4 \). Поскольку 48 делится на 4 без остатка, то и 2048 делится на 4 без остатка. Остаток равен 0.

Когда остаток равен 0, это означает, что последняя цифра совпадает с последней цифрой в цикле, то есть 6.

Ответ: 6