8. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 38°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник АСВО, где С — точка пересечения касательных. Углы \( \angle OAC \) и \( \angle OBC \) равны 90°, так как радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 38^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 218^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 218^{\circ} = 142^{\circ} \)

В треугольнике АОВ \( OA = OB \) (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. Углы при основании равны.

\( \angle OAB = \angle OBA \)

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 142^{\circ} + 2 \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{38^{\circ}}{2} = 19^{\circ} \)

Ответ: 19