8 класс К-4, В-1 1. В прямоугольном треугольнике АВС ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к сто- роне AD, AB = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. 1. Найдем АС и cos C.
   В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора: \( BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256 \), \( BD = \sqrt{256} = 16 \) см.
   В прямоугольном треугольнике ADC: \( AC^2 = AD^2 + DC^2 \). Мы не знаем DC.
   Используем подобие треугольников: \( \Delta ABD \sim \Delta CAD \).
   \( \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD} \) → \( CD = \frac{AD^2}{BD} = \frac{12^2}{16} = \frac{144}{16} = 9 \) см.
   \( AC = AD + DC = 12 + 9 = 21 \) см.
   В прямоугольном треугольнике ABC: \( \cos C = \frac{BC}{AC} \).
   Сначала найдём BC: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \) - неправильный подход, так как ABC не прямоугольный.
   Рассмотрим \( \Delta ADC \). \( \cos C = \frac{DC}{AC} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} \).
2. 2. Найдем площадь параллелограмма ABCD.
   Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними: \( S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) \).
   \( S = 12 \cdot 12 \cdot \sin(60^{\circ}) = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3} \) см².
3. 3. Найдем площадь трапеции.
   Трапеция ABCD, BC = 5√2, ∠D = 45°, основания a = 20 см, b = 12 см.
   Проведем высоту BH. В прямоугольном треугольнике BHC: \( \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \) - это угол трапеции, а не треугольника. Угол при основании 45°.
   Пусть основания AD = 20, BC = 12. Боковая сторона CD = 5√2, ∠D = 45°.
   Опустим высоту CC' из C на AD. Тогда AD = AC' + C'D.
   В прямоугольном треугольнике CC'D: \( \angle D = 45^{\circ} \), \( CD = 5\sqrt{2} \).
   \( CC' = CD \cdot \sin(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \) см.
   \( C'D = CD \cdot \cos(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \) см.
   \( AC' = AD - C'D = 20 - 5 = 15 \) см.
   \( AB = CC' = 5 \) см. (так как это трапеция, а не равнобедренная).
   Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{20+12}{2} \cdot 5 = \frac{32}{2} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80 \) см².

Ответ: 1. AC = 21 см, cos C = 3/7. 2. Площадь = 72√3 см². 3. Площадь = 80 см².