8 класс К-5, В-1 1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хор- ды АВ и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четы- рёхугольника ABCD и градусные меры дуг АВ, ВС, CD, AD. 2. Основание АВ равнобедренного треугольника АВС равно 18 см, а боковая сторона ВС равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в тре- угольник и описанной около треугольника окружностей. 3. Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и №. Найдите отрез- ки КМ и KN, если ОК = 12 см, ∠MON = 120°.

Решение:

1. 1. Найдем углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг.
   Так как \( AB = AD = R \) (радиус окружности), то треугольники ABD и ABC равнобедренные.
   \( \angle ABD = \angle ADB \).
   \( \angle ABC = \angle ACB \).
   \( \angle ACD = \angle CAD \).
   Так как AB и AD — хорды, равные радиусу, то \( \Delta OAB \) и \( \Delta OAD \) — равносторонние. Следовательно, \( \angle AOB = \angle AOD = 60^{\circ} \).
   \( \angle DAB = \angle DAO + \angle OAB = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
   Так как AC — диаметр, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle ADC = 90^{\circ} \).
   \( \angle ABC = 90^{\circ} \).
   \( \angle ADC = 90^{\circ} \).
   Углы четырёхугольника ABCD: \( \angle A = 120^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = ?, \angle D = 90^{\circ} \).
   Сумма углов четырёхугольника = 360°. \( \angle C = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \).
   Градусные меры дуг:
   Дуга AB = \( \angle AOB = 60^{\circ} \).
   Дуга AD = \( \angle AOD = 60^{\circ} \).
   Дуга BC: \( \angle BOC = ? \). \( \Delta OBC \) равнобедренный (OB=OC=R). \( \angle BAC \) - вписанный, опирается на дугу BC. \( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
   Дуга BC = \( 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
   Дуга CD = \( 2 \cdot \angle CAD \). \( \Delta OAC \) — прямоугольный, \( \angle AOC = 90^{\circ} \). \( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle OCA \). \( \angle OCA = \angle OAC \) так как \( \Delta OAC \) равнобедренный. \( \angle AOC = 90^{\circ} \).
   \( \angle CAD \) = \( \angle OAC - \angle OAB \).
   \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( \angle AOC = 180 - (30+30) = 120 \) - неверно. \( \angle ABC = 90^{\circ} \).
   \( \angle BAC = 30^{\circ} \), значит дуга BC = 60°. \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( \angle ABC = 90^{\circ} \).
   \( \angle OAB = 60^{\circ} \), \( \angle OAD = 60^{\circ} \).
   \( \angle CAD = \angle ACD \) (в \( \Delta ACD \), \( \angle D=90^{\circ} \)).
   \( \angle OAC = 90^{\circ} \). \( \angle CAD = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
   Дуга CD = \( 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
   Сумма дуг: 60 + 60 + 60 + 60 = 240° - неверно. \( \angle AOC = 90^{\circ} \). \( \angle OAC = 45^{\circ} \).
   \( \angle DAB = 120^{\circ} \). \( \angle ADC = 90^{\circ} \). \( \angle ABC = 90^{\circ} \). \( \angle BCD = 60^{\circ} \).
   Дуга AB = 60°. Дуга AD = 60°. Дуга BC = 60°. Дуга CD = 120° (так как \( \angle CAD = \angle ACD \) неверно).
   \( \angle AOC = 90^{\circ} \). \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( \angle CAD = ? \).
   \( \angle BAD = 120^{\circ} \). \( \angle BCD = 60^{\circ} \).
   Дуга AB = 60°. Дуга AD = 60°.
   Дуга BCD = \( 2 \cdot \angle BAD = 2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ} \).
   Дуга ABC = \( 2 \cdot \angle ADC = 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
   Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 180°. \( 60^{\circ} + \text{Дуга BC} = 180^{\circ} \) → Дуга BC = 120°.
   Дуга ADC = \( 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
   Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD = 180°. \( 60^{\circ} + \text{Дуга CD} = 180^{\circ} \) → Дуга CD = 120°.
   Проверка: 60 + 120 + 120 + 60 = 360°.
2. 2. Найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.
   В равнобедренном \( \Delta ABC \): AB = 18 см, BC = AC = 15 см.
   Высота CH к основанию AB делит его пополам: AH = HB = 9 см.
   В \( \Delta CHB \): \( CH^2 = BC^2 - HB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \). \( CH = 12 \) см.
   Площадь \( \Delta ABC \): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108 \) см².
   Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{S}{p} \), где p — полупериметр.
   \( p = \frac{18+15+15}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см.
   \( r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.
   Радиус описанной окружности: \( R = \frac{abc}{4S} \)
   \( R = \frac{18 \cdot 15 \cdot 15}{4 \cdot 108} = \frac{18 \cdot 225}{432} = \frac{4050}{432} = 9.375 \) см.
3. 3. Найдем отрезки КМ и KN.
   KM и KN — касательные к окружности из точки K. По свойству касательных \( KM = KN \).
   \( \Delta OKM \) и \( \Delta OKN \) — прямоугольные (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). \( \angle OMK = \angle ONK = 90^{\circ} \).
   В \( \Delta OMN \), ON = OM = R. \( \angle MON = 120^{\circ} \). \( \Delta OMN \) — равнобедренный.
   \( \angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
   В прямоугольном \( \Delta OKM \): \( \angle KMO = 90^{\circ} \). \( \angle OMK = \angle OMN + \angle KMN = 90^{\circ} \).
   \( \angle MOK = \frac{\angle MON}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \) (так как OK — биссектриса \( \angle MON \)).
   В \( \Delta OKM \): \( \cos(\angle MOK) = \frac{OM}{OK} \)
   \( \cos(60^{\circ}) = \frac{OM}{12} \) → \( \frac{1}{2} = \frac{OM}{12} \) → \( OM = 6 \) см. (это радиус окружности).
   \( KM = \sqrt{OK^2 - OM^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) см.
   \( KN = KM = 6\sqrt{3} \) см.

Ответ: 1. Углы: ∠A = 120°, ∠B = 90°, ∠C = 60°, ∠D = 90°. Дуги: AB = 60°, AD = 60°, BC = 120°, CD = 120°. 2. Радиус вписанной окружности r = 4.5 см, радиус описанной окружности R = 9.375 см. 3. KM = KN = 6√3 см.