8. Между населенными пунктами А, В, С, D, Е построены дороги, протяженность которых (в километрах) приведена в таблице: A B C D E A 5 3 B 5 1 4 C 3 1 6 D 4 6 1 E 1 Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и Е. Передвигаться можно только по дорогам, протяженность которых указана в таблице.

Решение:

Данная задача решается с помощью алгоритма Дейкстры для нахождения кратчайшего пути в графе.

Таблица расстояний:

Алгоритм Дейкстры:

1. Инициализация: Расстояния до всех вершин, кроме начальной (А), устанавливаются в бесконечность. Расстояние до А равно 0.
2. Шаг 1: Выбираем вершину с наименьшим расстоянием (А, 0). Посещаем ее. Обновляем расстояния до смежных вершин: A → B (5), A → C (3).
3. Шаг 2: Выбираем вершину с наименьшим расстоянием из непосещенных (C, 3). Посещаем ее. Обновляем расстояния до смежных вершин: C → B (3+1=4, но B уже имеет расстояние 5, выбираем меньшее - 4), C → D (3+6=9).
4. Шаг 3: Выбираем вершину с наименьшим расстоянием из непосещенных (B, 4). Посещаем ее. Обновляем расстояния до смежных вершин: B → D (4+4=8, но D уже имеет расстояние 9, выбираем меньшее - 8), B → E (4+∞ = ∞).
5. Шаг 4: Выбираем вершину с наименьшим расстоянием из непосещенных (D, 8). Посещаем ее. Обновляем расстояния до смежных вершин: D → E (8+1=9).
6. Шаг 5: Выбираем вершину с наименьшим расстоянием из непосещенных (E, 9). Посещаем ее.

Кратчайший путь из А в Е имеет длину 9.

Путь: A → C → B → D → E (3 + 1 + 4 + 1 = 9)