8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины А.

Краткое пояснение:

Для нахождения длины биссектрисы в треугольнике, заданном на клетчатой бумаге, необходимо определить координаты вершин, вычислить длины сторон треугольника, а затем использовать формулу длины биссектрисы.

Пошаговое решение:

1. Определение координат вершин:
   Предположим, что вершина А находится в точке (1, 1). Тогда вершина B будет в точке (5, 4), а вершина C — в точке (5, 1).
2. Вычисление длин сторон треугольника:
   
   • Сторона AC (b): Расстояние между A(1,1) и C(5,1). Так как y-координаты равны, длина AC = |5 - 1| = 4.
   • Сторона AB (c): Расстояние между A(1,1) и B(5,4). Используем формулу расстояния между двумя точками: \( c = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \) = \( (5 - 1)^2 + (4 - 1)^2 \) = \( 4^2 + 3^2 \) = \( 16 + 9 \) = \( 25 \) = 5.
   • Сторона BC (a): Расстояние между B(5,4) и C(5,1). Так как x-координаты равны, длина BC = |4 - 1| = 3.
3. Вычисление длины биссектрисы (l_a), исходящей из вершины A:
   Используем формулу длины биссектрисы: \( l_a =  rac{4bc}{(b+c)^2}  s(s-a) \), где s — полупериметр.
   Или, более простой вариант, если известны стороны: \( l_a =  bc  (1 - (rac{a}{b+c})^2) \)
   Полупериметр \( s = (a+b+c)/2 = (3+4+5)/2 = 12/2 = 6 \).
   Длина биссектрисы \( l_a \) из вершины A: \( l_a =  bc  (1 - (rac{a}{b+c})^2) \)
   \( l_a =  4  5  (1 - (rac{3}{4+5})^2) \)
   \( l_a =  20  (1 - (rac{3}{9})^2) \)
   \( l_a =  20  (1 - (rac{1}{3})^2) \)
   \( l_a =  20  (1 - rac{1}{9}) \)
   \( l_a =  20  (rac{8}{9}) \)
   \( l_a =  rac{160}{9} \)
4. Итоговая длина биссектрисы:
   \( l_a  4.18 \)

Ответ: Длина биссектрисы, выходящей из вершины А, составляет rac{160}{9} (приблизительно 4.18).