8. На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что если BD = BE, то AB = BC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE.

1. По условию \(AD=CE\).
2. Так как точки D и E лежат на стороне AC, углы \(BAD\) и \(BCE\) являются углами треугольника при вершинах A и C.
3. Из условия \(BD=BE\) следует, что точка B равноудалена от D и E.
4. Точки D и E расположены на одном отрезке AC и удовлетворяют равенству \(AD=CE\), поэтому середина отрезка DE совпадает с серединой AC. Перпендикулярный серединный анализ показывает, что B лежит на серединном перпендикуляре к AC.
5. Следовательно, B равноудалена от A и C: \(AB=BC\).

Ответ: \(AB=BC\).