9. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка O, на отрезке AD — точка M и на отрезке CD — точка K, причём DM = DK. Найдите угол MOD, если угол CKO равен 110°.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектриса BD является также медианой и высотой. Поэтому \(AD=DC\), а \(BD\perp AC\).

Точки M и K лежат на отрезках AD и CD, причём \(DM=DK\). Следовательно, треугольник MDK равнобедренный с вершиной D, а его основание MK параллельно AC и перпендикулярно BD.

Угол \(CKO=110^\circ\), поэтому острый угол между прямыми KO и AC равен \(180^\circ-110^\circ=70^\circ\). Так как \(BD\perp AC\), угол между KO и BD равен \(90^\circ-70^\circ=20^\circ\).

Из равенства \(DM=DK\) и симметрии относительно биссектрисы BD получаем, что лучи OM и OK образуют с BD равные углы по разные стороны. Поэтому

\(\angle MOD=2\cdot20^\circ=40^\circ\).

Ответ: \(40^\circ\).