8. Найдите область определения выражения \(\sqrt{\dfrac{x}{5}-\dfrac{x}{3}+2}+\sqrt{2x+\dfrac{1}{2}}\).

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

1. Для первого корня: \(\dfrac{x}{5}-\dfrac{x}{3}+2\ge0\). Приводим подобные: \(-\dfrac{2x}{15}+2\ge0\), откуда \(x\le15\).
2. Для второго корня: \(2x+\dfrac12\ge0\), откуда \(x\ge-\dfrac14\).
3. Пересекаем условия: \(-\dfrac14\le x\le15\).

Ответ: \(\left[-\dfrac14;15\right]\).