8. Найдите производную:

Решение:

Для нахождения производной будем использовать правила дифференцирования.

а) \( y = 3x^2 - x^3 \)

Используем правило \( (u - v)' = u' - v' \) и \( (cx^n)' = cnx^{n-1} \).

\[ y' = (3x^2)' - (x^3)' = 3 · 2x^{2-1} - 3x^{3-1} = 6x - 3x^2 \]

б) \( y = 4x^2 + 6x + 3 \)

Используем правило \( (u + v + w)' = u' + v' + w' \).

\[ y' = (4x^2)' + (6x)' + (3)' = 4 · 2x^{2-1} + 6 · 1x^{1-1} + 0 = 8x + 6 \]

в) \( y = (3x^2 + 1)(3x^2 - 1) \)

Это разность квадратов: \( y = (3x^2)^2 - 1^2 = 9x^4 - 1 \). Теперь найдём производную:

\[ y' = (9x^4)' - (1)' = 9 · 4x^{4-1} - 0 = 36x^3 \]

г) \( y = \frac{x}{1+x^2} \)

Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

\[ y' = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 · (1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \]

Ответ: а) \( 6x - 3x^2 \), б) \( 8x + 6 \), в) \( 36x^3 \), г) \( \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \)