8. Найдите sin (7π/2 – α), если sinα = 0,8 и α ∈ (π/2 ; π)

Решение:

1. Преобразуем аргумент синуса: \( \frac{7\pi}{2} \) можно представить как \( 3\pi + \frac{\pi}{2} \) или \( 4\pi - \frac{\pi}{2} \). Используем \( \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \).

Тогда \( \sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) \).

Так как функция \( \sin(x) \) имеет период \( 2\pi \), \( \sin(3\pi + y) = \sin(\pi + y) \).

Таким образом, \( \sin(\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) \).

Используем формулу приведения \( \sin(\pi + \beta) = -\sin(\beta) \).

Получаем: \( -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

Теперь используем формулу приведения \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) \).

Итак, \( \sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) \).

2. Определим знак косинуса для угла \( \alpha \):

Дано, что \( \alpha \in (\frac{\pi}{2} ; \pi) \), то есть \( \alpha \) находится во II четверти. В этой четверти косинус отрицателен.

3. Найдем \( \cos(\alpha) \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36 \]

Так как \( \alpha \) во II четверти, \( \cos \alpha \) отрицателен:

\[ \cos \alpha = -\sqrt{0.36} = -0.6 \]

4. Подставим значение \( \cos(\alpha) \) в итоговое выражение:

\[ \sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) = -(-0.6) = 0.6 \]

Ответ: 0.6.