8. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что один из его углов в 4 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи.

Решение:

Пусть \( △ ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). Тогда \( ∠BAC = ∠BCA \). Обозначим эти углы как \( x \). Угол при вершине \( B \) обозначим как \( y \).

Сумма углов треугольника равна \( 180° \): \( x + x + y = 180° \), то есть \( 2x + y = 180° \).

Рассмотрим два случая, когда один угол в 4 раза меньше другого:

Случай 1: Угол при основании в 4 раза меньше угла при вершине.

\( x = \frac{y}{4} \), или \( y = 4x \).

Подставим во второе уравнение:

\( 2x + 4x = 180° \)

\( 6x = 180° \)

\( x = 30° \)

Тогда \( y = 4 · 30° = 120° \).

Углы треугольника: \( 30°, 120°, 30° \). Это возможно.

Случай 2: Угол при вершине в 4 раза меньше угла при основании.

\( y = \frac{x}{4} \), или \( x = 4y \).

Подставим во второе уравнение:

\( 2(4y) + y = 180° \)

\( 8y + y = 180° \)

\( 9y = 180° \)

\( y = 20° \)

Тогда \( x = 4 · 20° = 80° \).

Углы треугольника: \( 80°, 20°, 80° \). Это тоже возможно.

Ответ: 30° или 80°.