8. Найдите все корни уравнения log_{0,5} (x+2) + log_{0,5} (x+3) = log_{0,5} 3 - 1.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

\( x+2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > -2 \)

\( x+3 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > -3 \)

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \( x > -2 \).

Преобразуем уравнение:

\[ \text{log}_{0,5} ((x+2)(x+3)) = \text{log}_{0,5} 3 - \text{log}_{0,5} 0,5 \quad \text{(так как } 1 = \text{log}_{0,5} 0,5) \]

\[ \text{log}_{0,5} ((x+2)(x+3)) = \text{log}_{0,5} \left(\frac{3}{0,5}\right) \]

\[ \text{log}_{0,5} (x^2 + 3x + 2x + 6) = \text{log}_{0,5} 6 \]

\[ \text{log}_{0,5} (x^2 + 5x + 6) = \text{log}_{0,5} 6 \]

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\[ x^2 + 5x + 6 = 6 \]

\[ x^2 + 5x = 0 \]

\[ x(x+5) = 0 \]

Получаем два возможных корня:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = -5 \]

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ \( x > -2 \):

\( x_1 = 0 \) удовлетворяет условию \( 0 > -2 \).

\( x_2 = -5 \) не удовлетворяет условию \( -5 \ngtr -2 \).

Следовательно, единственным корнем уравнения является \( x = 0 \).

Ответ: 0.