8. Найдите значение выражения 1/(7+√47) + 1/(7-√47).

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей (формула разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)).

1. Общий знаменатель:
• \( (7 + \sqrt{47})(7 - \sqrt{47}) = 7^2 - (\sqrt{47})^2 = 49 - 47 = 2 \)
2. Приведём дроби к общему знаменателю:
• \( \frac{1}{7 + \sqrt{47}} = \frac{1 \cdot (7 - \sqrt{47})}{(7 + \sqrt{47})(7 - \sqrt{47})} = \frac{7 - \sqrt{47}}{2} \)
• \( \frac{1}{7 - \sqrt{47}} = \frac{1 \cdot (7 + \sqrt{47})}{(7 - \sqrt{47})(7 + \sqrt{47})} = \frac{7 + \sqrt{47}}{2} \)
3. Сложим полученные дроби:
• \( \frac{7 - \sqrt{47}}{2} + \frac{7 + \sqrt{47}}{2} = \frac{7 - \sqrt{47} + 7 + \sqrt{47}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Ответ: 7