8. Найдите значение выражения \(((3xy)^{3} \cdot (\frac{1}{3}xy^{2})^{2}\)), если \(x = -3, y = \frac{1}{3}\).

Решение:

1. Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
• \((3xy)^{3} = 3^{3}x^{3}y^{3} = 27x^{3}y^{3}\)
• \((\frac{1}{3}xy^{2})^{2} = (\frac{1}{3})^{2}x^{2}(y^{2})^{2} = \frac{1}{9}x^{2}y^{4}\)
2. Теперь перемножим полученные одночлены:
• \(27x^{3}y^{3} \cdot \frac{1}{9}x^{2}y^{4} = (27 \cdot \frac{1}{9}) (x^{3} \cdot x^{2}) (y^{3} \cdot y^{4}) = 3x^{3+2}y^{3+4} = 3x^{5}y^{7}\)
3. Теперь подставим значения \(x = -3\) и \(y = \frac{1}{3}\):
• \(3(-3)^{5}(\frac{1}{3})^{7}\)
• \((-3)^{5} = -243\)
• \((\frac{1}{3})^{7} = \frac{1}{3^{7}} = \frac{1}{2187}\)
• \(3 \cdot (-243) \cdot \frac{1}{2187} = -729 \cdot \frac{1}{2187}\)
• \(-\frac{729}{2187}\)
4. Сократим дробь. Заметим, что \(2187 = 3 \cdot 729\):
• \(-\frac{729}{3 \cdot 729} = -\frac{1}{3}\)

Ответ: \(-\frac{1}{3}\)