8. Найдите значение выражения \( 4x \cdot (6x^{5})^{6} : (6x^{10})^6 \) при \( x = 45 \).

Решение:

Упростим выражение:

\[ 4x \cdot (6x^{5})^{6} : (6x^{10})^6 = 4x \cdot \frac{6^{6} \cdot (x^{5})^{6}}{(6x^{10})^6} = 4x \cdot \frac{6^{6} \cdot x^{30}}{6^{6} \cdot (x^{10})^6} \]

Сократим \( 6^6 \) и упростим \( (x^{10})^6 \):

\[ = 4x \cdot \frac{x^{30}}{x^{60}} = 4x \cdot x^{30-60} = 4x \cdot x^{-30} = 4x^{1-30} = 4x^{-29} = \frac{4}{x^{29}} \]

Теперь подставим \( x = 45 \):

\[ \frac{4}{45^{29}} \]

Примечание: В условии задания, вероятно, ошибка, так как при \( x=45 \) получается очень большое число в знаменателе. Если выражение было \( 4x \cdot (6x^{5})^{6} : (6x^{15})^6 \), то решение было бы:

\[ 4x \cdot \frac{6^{6} \cdot x^{30}}{6^{6} \cdot x^{90}} = 4x \cdot x^{30-90} = 4x^{1-60} = 4x^{-59} = \frac{4}{x^{59}} \]

Если выражение было \( 4x \cdot (6x^{15})^{6} : (6x^{10})^6 \), то решение было бы:

\[ 4x \cdot \frac{6^{6} \cdot x^{90}}{6^{6} \cdot x^{60}} = 4x \cdot x^{90-60} = 4x^{30} \]

Подставим \( x=45 \) в \( 4x^{30} \), это также очень большое число.

Предполагая, что имелось в виду: \( 4x \cdot (6x^{5}) : (6x^{10}) \) без степеней:

\[ 4x \cdot 6x^5 : 6x^{10} = \frac{4x \cdot 6x^5}{6x^{10}} = \frac{24x^6}{6x^{10}} = 4x^{6-10} = 4x^{-4} = \frac{4}{x^4} \]

При \( x=45 \):

\[ \frac{4}{45^4} = \frac{4}{4100625} \]

Исходя из предоставленного изображения, будем решать как написано.

\[ 4x \cdot (6x^{5})^{6} : (6x^{10})^6 = 4x \cdot \frac{6^6 x^{30}}{6^6 x^{60}} = 4x \cdot x^{30-60} = 4x^{-29} = \frac{4}{x^{29}} \]

При \( x = 45 \):

\[ \frac{4}{45^{29}} \]

Ответ: \( \frac{4}{45^{29}} \)