8. Найдите значение выражения \( (a + 2b)^2 + (a - 2b)^2 \) при \( a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3} \).

Решение:

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\( (a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 \)
\( (a - 2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 \)

Теперь сложим полученные выражения:

\( (a^2 + 4ab + 4b^2) + (a^2 - 4ab + 4b^2) = a^2 + 4ab + 4b^2 + a^2 - 4ab + 4b^2 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( (a^2 + a^2) + (4ab - 4ab) + (4b^2 + 4b^2) = 2a^2 + 0 + 8b^2 = 2a^2 + 8b^2 \)

Теперь подставим значения \( a = \sqrt{2} \) и \( b = \sqrt{3} \):

\( 2a^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4 \)
\( 8b^2 = 8(\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 3 = 24 \)

Сложим полученные значения:

\( 2a^2 + 8b^2 = 4 + 24 = 28 \)

Ответ: 28