8 Найдите значение выражения (b⁻²⁰⋅a²²)³ ⋅ (b²¹⋅a⁻²³)⁴ при b = 12√14, при a = 13√20.

Решение:

Упростим выражение:

1. Возведём степени в степени:
\( (b^{-20} a^{22})^3 = b^{-60} a^{66} \) \( (b^{21} a^{-23})^4 = b^{84} a^{-92} \)
2. Перемножим полученные выражения:
\( b^{-60} a^{66} b^{84} a^{-92} = b^{84-60} a^{66-92} = b^{24} a^{-26} \)
3. Подставим значения \( b \) и \( a \):
\( b = 14 \) \( a = 20 \)
4. Подставим в упрощённое выражение \( b^{24} a^{-26} \):
\( ( 14)^{24} ( 20)^{-26} \) \( = (14^{1/12})^{24} (20^{1/12})^{-26} \) \( = 14^{24/12} 20^{-26/12} \) \( = 14^2 20^{-13/6} \) \( = 196 \frac{1}{20^{13/6}} \)

Примечание: В условии не указан степень для b, поэтому решение будет без неё. Если b=12√14, то b²⁴ = (14^(1/12))²⁴ = 14². Если b = √14, то b²⁴ = (14^(1/2))²⁴ = 14¹². Если b = ¹²√14, то b = 14^(1/12). В выражении b²⁴ = (14^(1/12))²⁴ = 14². Если b = √14, то b²⁴ = (14^(1/2))²⁴ = 14¹². В выражении a⁻²⁶ = (20^(1/12))⁻²⁶ = 20^(-26/12) = 20^(-13/6). Без уточнения степени для b, дальнейшее упрощение невозможно. Предполагая, что b = 14^(1/12), тогда b²⁴ = 14². В таком случае:

\( 196 \frac{1}{20^{13/6}} \)

Ответ: 196 / (20^(13/6))