8. Найдите значение выражения $$\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$$

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей \( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \).

1. Вычислим общий знаменатель, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \)
2. Преобразуем числитель первой дроби: \( 1 \cdot (2-\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3} \)
3. Преобразуем числитель второй дроби: \( 1 \cdot (2+\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3} \)
4. Сложим преобразованные дроби: \( \frac{2-\sqrt{3}}{1} + \frac{2+\sqrt{3}}{1} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4 \)

Ответ: 4