8. Найдите значение выражения: $$\frac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}}$$ при $$a = 2$$.

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$), а при делении вычитаются ($$a^m : a^n = a^{m-n}$$).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель дроби, сложив показатели степеней: $$a^{10} \cdot a^{12} = a^{10+12} = a^{22}$$.
2. Шаг 2: Теперь выражение выглядит так: $$\frac{a^{22}}{a^{19}}$$.
3. Шаг 3: Упростим дробь, вычитая показатель степени знаменателя из показателя степени числителя: $$a^{22} : a^{19} = a^{22-19} = a^3$$.
4. Шаг 4: Подставим значение $$a = 2$$ в полученное выражение: $$2^3$$.
5. Шаг 5: Вычислим результат: $$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$.

Ответ: 8