8. Найдите значение выражения \( \frac{a^{37} \cdot (b^8)^4}{(a \cdot b)^{32}} \) при \( a=2, b=\sqrt{2} \)

Пошаговое решение:

1. Упрощение выражения:
   
   • \( (b^8)^4 = b^{8 \times 4} = b^{32} \)
   • \( (a · b)^{32} = a^{32} · b^{32} \)

   Теперь подставим это обратно в выражение:

   \( \frac{a^{37} · b^{32}}{a^{32} · b^{32}} \)

2. Сокращение дроби:
   
   • \( b^{32} \) в числителе и знаменателе сокращаются.
   • \( \frac{a^{37}}{a^{32}} = a^{37-32} = a^5 \)

   Упрощенное выражение: \( a^5 \).

3. Подстановка значений переменных:
   Дано: \( a=2, b=\sqrt{2} \).
   Подставляем \( a=2 \) в упрощенное выражение: \( 2^5 \).
4. Вычисление:
   \( 2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 \)

Ответ: 32