8. Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5 b^8}} \) при \( a = 4 \) и \( b = 7 \).

Решение:

Упростим выражение под корнем:

\[ \frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5 b^8}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{a^9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^8}}{\sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^8}} \]

Сократим \( \sqrt{b^8} \) в числителе и знаменателе:

\[ = \frac{5 \cdot \sqrt{a^9} \cdot 4}{\sqrt{a^5}} \]

Умножим коэффициенты:

\[ = \frac{20 \cdot \sqrt{a^9}}{\sqrt{a^5}} \]

Разделим корни с одинаковым основанием, используя свойство \( \frac{\sqrt{x^m}}{\sqrt{x^n}} = \sqrt{x^{m-n}} \):

\[ = 20 \cdot \sqrt{a^{9-5}} = 20 \cdot \sqrt{a^4} \]

Извлечём корень из \( a^4 \), получим \( a^2 \):

\[ = 20 a^2 \]

Теперь подставим значения \( a = 4 \) и \( b = 7 \). Заметим, что \( b \) не влияет на результат упрощённого выражения.

\[ 20 \cdot (4)^2 = 20 \cdot 16 \]

Вычислим произведение:

\[ 20 \cdot 16 = 320 \]

Ответ: 320