8. Найдите значение выражения $$ \frac{\sqrt{35}-\sqrt{21}}{\sqrt{15}} $$ Ответ:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выделим множители из числителя и знаменателя под корнями: \( \sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7} \), \( \sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} \), \( \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} \).
2. Шаг 2: Перепишем выражение, выделив общий множитель \( \sqrt{7} \) в числителе: \( \frac{\sqrt{7}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{15}} \).
3. Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \) и \( \sqrt{5} \) соответственно: \( \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{15}} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{15}} \).
4. Шаг 4: Упростим: \( \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{15}} - \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{35}{15}} - \sqrt{\frac{21}{15}} \).
5. Шаг 5: Сократим дроби под корнями: \( \sqrt{\frac{7}{3}} - \sqrt{\frac{7}{5}} \).
6. Шаг 6: Приведем к общему знаменателю: \( \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{15}} - \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{15}} \).
7. Шаг 7: Объединим под общим корнем: \( \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \).
8. Шаг 8: Рационализируем знаменатели: \( \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{35}}{5} \).
9. Шаг 9: Приведем к общему знаменателю 15: \( \frac{5\sqrt{21} - 3\sqrt{35}}{15} \).

Ответ: $$\frac{5\sqrt{21} - 3\sqrt{35}}{15}$$