8. Найдите значение выражения 6b⁵√2+4 (b√2)⁵ при b = 4.

Решение:

Подставим \( b = 4 \) в выражение:

\( \frac{6 \cdot 4^{\color{red}5} \cdot \sqrt{2} + 4}{(4 \cdot \sqrt{2})^5} \)

Упростим выражение:

\( \frac{6 \cdot 1024 \cdot \sqrt{2} + 4}{4^5 \cdot (\sqrt{2})^5} = \frac{6144 \sqrt{2} + 4}{1024
\cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{6144 \sqrt{2} + 4}{4096 \sqrt{2}} \)

Разделим числитель и знаменатель на 4:

\( \frac{1536 \sqrt{2} + 1}{1024 \sqrt{2}} \)

Для дальнейшего упрощения, представим 1 как \( \frac{1024 \sqrt{2}}{1024 \sqrt{2}} \) или попробуем выделить \( \sqrt{2} \) из числителя.

\( \frac{1536 \sqrt{2}}{1024 \sqrt{2}} + \frac{1}{1024 \sqrt{2}} = \frac{1536}{1024} + \frac{1}{1024 \sqrt{2}} \)

\( \frac{1536}{1024} = \frac{3 \cdot 512}{2
\cdot 512} = \frac{3}{2} = 1,5 \)

\( \frac{1}{1024 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{1024
\cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2048} \)

Итоговое выражение: \( 1,5 + \frac{\sqrt{2}}{2048} \)

Ответ: 1,5 + \(\frac{√2}{2048}\)