8) Найти точки экстремума функции: f(x)=3x⁴ - 4x³ + 2

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \(f'(x) = (3x^4 - 4x^3 + 2)' = 12x^3 - 12x^2\)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \(12x^3 - 12x^2 = 0\)
   \(12x^2(x - 1) = 0\)
3. Критические точки: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).
4. Определим знаки производной на интервалах:
   При \(x < 0\) (например, \(x=-1\)): \(f'(-1) = 12(-1)^2(-1-1) = 12(-2) = -24 < 0\) (функция убывает).
   При \(0 < x < 1\) (например, \(x=0.5\)): \(f'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5-1) = 12(0.25)(-0.5) = -1.5 < 0\) (функция убывает).
   При \(x > 1\) (например, \(x=2\)): \(f'(2) = 12(2)^2(2-1) = 12(4)(1) = 48 > 0\) (функция возрастает).
5. Сделаем вывод:
   В точке \(x = 0\) производная не меняет знак (убывание сменяется убыванием), поэтому это не точка экстремума.
   В точке \(x = 1\) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
6. Найдем значение функции в точке минимума:
   \(f(1) = 3(1)^4 - 4(1)^3 + 2 = 3 - 4 + 2 = 1\)

Ответ: точка минимума (1; 1).