8. Одна бригада должна была изготовить 120, а вторая – 144 детали. Первая бригада изготовила на 4 детали больше, чем вторая, и работала на 3 ч меньше второй. Сколько деталей производили каждая бригада за один час?

Решение:

Пусть \( x \) – количество деталей, которое производила вторая бригада за один час. Тогда \( x+4 \) – количество деталей, которое производила первая бригада за один час.

Время работы первой бригады: \( \frac{120}{x+4} \) часов.

Время работы второй бригады: \( \frac{144}{x} \) часов.

По условию, первая бригада работала на 3 часа меньше второй. Составим уравнение:

\[ \frac{144}{x} - \frac{120}{x+4} = 3 \]

• Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x+4) \):
• \( \frac{144(x+4)}{x(x+4)} - \frac{120x}{x(x+4)} = 3 \)
• \( \frac{144x + 576 - 120x}{x(x+4)} = 3 \)
• \( \frac{24x + 576}{x(x+4)} = 3 \)
• Умножим обе части на \( x(x+4) \):
• \( 24x + 576 = 3x(x+4) \)
• \( 24x + 576 = 3x^2 + 12x \)
• Перенесём все члены в одну сторону:
• \( 3x^2 + 12x - 24x - 576 = 0 \)
• \( 3x^2 - 12x - 576 = 0 \)
• Разделим всё на 3:
• \( x^2 - 4x - 192 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \]
• Найдем \( x \):
• \[ x_1 = \frac{-(-4) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
• \[ x_2 = \frac{-(-4) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]
• Так как \( x \) – это количество деталей в час, оно не может быть отрицательным. Поэтому \( x = 16 \) деталей/час.
• Производительность первой бригады: \( x+4 = 16+4 = 20 \) деталей/час.

Ответ: Первая бригада производила 20 деталей в час, вторая – 16 деталей в час.