8. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетом 3см и прилежащим углом 60°. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, 10см. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Находим размеры основания призмы:

• Основание — прямоугольный треугольник. Один катет \( a = 3 \) см, прилежащий угол \( \alpha = 60° \).
• Найдем второй катет \( b \) и гипотенузу \( c \).
• Тангенс угла \( \alpha \): \( \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \).
• \( \tan(60°) = \frac{b}{3} \).
• \( b = 3 \cdot \tan(60°) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.
• Косинус угла \( \alpha \): \( \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \).
• \( \cos(60°) = \frac{3}{c} \).
• \( c = \frac{3}{\cos(60°)} = \frac{3}{1/2} = 6 \) см.
• Площадь основания призмы \( S_{осн} \) (прямоугольного треугольника): \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см².

2. Находим высоту призмы:

• Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, равна \( d = 10 \) см. Эта грань — прямоугольник, одна сторона которого — гипотенуза основания \( c = 6 \) см, а другая сторона — высота призмы \( H \).
• По теореме Пифагора для этой грани: \( d^2 = c^2 + H^2 \).
• \( 10^2 = 6^2 + H^2 \).
• \( 100 = 36 + H^2 \).
• \( H^2 = 100 - 36 = 64 \).
• \( H = \sqrt{64} = 8 \) см.

3. Находим объем призмы:

• Объем призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot H \).
• \( V = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 8 \).
• \( V = 9\sqrt{3} \cdot 4 \).
• \( V = 36\sqrt{3} \) см³.

Ответ: 36\sqrt{3} см³