8. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, D, если A(0; 4), B(6; -2), C(7; 3); D(-3; -2). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Задание 8. Построение точек и нахождение точки пересечения прямых

а) Построение точек:

Чтобы построить точки на координатной плоскости, нужно от начала координат (точки 0) отложить по оси X первое число (абсцисса), а затем от полученной точки отложить по оси Y второе число (ордината).

• Точка A(0; 4): На оси X не смещаемся (0), поднимаемся на 4 единицы вверх по оси Y.
• Точка B(6; -2): От начала координат смещаемся на 6 единиц вправо по оси X, затем на 2 единицы вниз по оси Y.
• Точка C(7; 3): От начала координат смещаемся на 7 единиц вправо по оси X, затем на 3 единицы вверх по оси Y.
• Точка D(-3; -2): От начала координат смещаемся на 3 единицы влево по оси X, затем на 2 единицы вниз по оси Y.

б) Нахождение точки пересечения прямых AB и CD:

Чтобы найти точку пересечения прямых, нам нужно найти уравнение каждой прямой и затем решить систему уравнений.

Уравнение прямой AB:

Общий вид уравнения прямой: \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек A(0; 4) и B(6; -2):

• Для точки A(0; 4): \( 4 = k \times 0 + b \) => \( b = 4 \).
• Для точки B(6; -2): \( -2 = k \times 6 + b \)

Подставим \( b=4 \) во второе уравнение:

• \( -2 = 6k + 4 \)
• \( 6k = -2 - 4 \)
• \( 6k = -6 \)
• \( k = -1 \)

Уравнение прямой AB: \( y = -x + 4 \).

Уравнение прямой CD:

Подставим координаты точек C(7; 3) и D(-3; -2):

• Для точки C(7; 3): \( 3 = k \times 7 + b \)
• Для точки D(-3; -2): \( -2 = k \times (-3) + b \)

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) \( 7k + b = 3 \)
• 2) \( -3k + b = -2 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

• \( (7k + b) - (-3k + b) = 3 - (-2) \)
• \( 7k + b + 3k - b = 3 + 2 \)
• \( 10k = 5 \)
• \( k = \frac{5}{10} = 0.5 \)

Подставим \( k=0.5 \) в первое уравнение (или второе):

• \( 7 \times 0.5 + b = 3 \)
• \( 3.5 + b = 3 \)
• \( b = 3 - 3.5 \)
• \( b = -0.5 \)

Уравнение прямой CD: \( y = 0.5x - 0.5 \).

Нахождение точки пересечения:

Приравняем уравнения прямых AB и CD:

• \( -x + 4 = 0.5x - 0.5 \)
• Перенесём \( x \) вправо, а числа влево:
• \( 4 + 0.5 = 0.5x + x \)
• \( 4.5 = 1.5x \)
• \( x = \frac{4.5}{1.5} = 3 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x=3 \) в любое из уравнений прямых. Возьмём уравнение прямой AB: \( y = -x + 4 \).

• \( y = -3 + 4 \)
• \( y = 1 \)

Точка пересечения прямых AB и CD имеет координаты (3; 1).

Ответ: Координата точки пересечения прямых AB и CD равна (3; 1).