8. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, Д, если А(0; 4), В(6; -2), С(7; 3); D(-3; -2). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Построение точек:

Чтобы построить точки, откладываем первую координату (x) по оси абсцисс, а вторую (y) — по оси ординат.

б) Определение точки пересечения прямых AB и CD:

Для этого нам нужно найти уравнения прямых, проходящих через точки A и B, и через точки C и D.

Уравнение прямой AB:

Точки: A(0; 4), B(6; -2).

Найдём угловой коэффициент \( k_{AB} \):

\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{6 - 0} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Так как точка A(0; 4) лежит на оси y, то \( b = 4 \).

Уравнение прямой AB: \( y = -1x + 4 \) или \( y = -x + 4 \).

Уравнение прямой CD:

Точки: C(7; 3), D(-3; -2).

Найдём угловой коэффициент \( k_{CD} \):

\[ k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 3}{-3 - 7} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \]

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку C(7; 3).

\[ y - 3 = \frac{1}{2}(x - 7) \]

\[ y - 3 = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \]

\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + 3 \]

\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + \frac{6}{2} \]

\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]

Найдём точку пересечения:

Приравняем уравнения прямых:

\[ -x + 4 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]

Перенесём члены с \( x \) влево, а числовые вправо:

\[ -x - \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} - 4 \]

\[ -\frac{3}{2}x = -\frac{1}{2} - \frac{8}{2} \]

\[ -\frac{3}{2}x = -\frac{9}{2} \]

Умножим обе части на \( -\frac{2}{3} \):

\[ x = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = 3 \]

Теперь найдём \( y \), подставив \( x=3 \) в любое из уравнений. Возьмём \( y = -x + 4 \):

\[ y = -3 + 4 = 1 \]

Точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Ответ: а) Точки построены на координатной плоскости. б) Координаты точки пересечения прямых AB и CD — (3; 1).