8 Постройте на координатной плоскости точки М, F, E, K, если М(-4; -2), F(5; 4), E(0; -5), K(-2; 5). Определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

Решение:

Для начала построим точки на координатной плоскости и проведем прямые MF и KE.

1. Построение точек:

• Точка M имеет координаты (-4; -2). Отмечаем на оси X -4, на оси Y -2.
• Точка F имеет координаты (5; 4). Отмечаем на оси X 5, на оси Y 4.
• Точка E имеет координаты (0; -5). Отмечаем на оси Y -5 (на оси X 0).
• Точка K имеет координаты (-2; 5). Отмечаем на оси X -2, на оси Y 5.

2. Построение прямых:

• Проводим прямую через точки M(-4; -2) и F(5; 4).
• Проводим прямую через точки K(-2; 5) и E(0; -5).

3. Нахождение точки пересечения:

Для нахождения точки пересечения нужно найти уравнения прямых MF и KE и решить систему уравнений.

Уравнение прямой MF:

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Для точек M(-4; -2) и F(5; 4):

\( \frac{x - (-4)}{5 - (-4)} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)} \)

\( \frac{x + 4}{9} = \frac{y + 2}{6} \)

Умножим обе части на 18 (наименьшее общее кратное 9 и 6):

\( 2(x + 4) = 3(y + 2) \)

\( 2x + 8 = 3y + 6 \)

\( 2x - 3y = 6 - 8 \)

\( 2x - 3y = -2 \) (Уравнение 1)

Уравнение прямой KE:

Для точек K(-2; 5) и E(0; -5):

\( \frac{x - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{y - 5}{-5 - 5} \)

\( \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 5}{-10} \)

Умножим обе части на -10:

\( -5(x + 2) = y - 5 \)

\( -5x - 10 = y - 5 \)

\( -5x - y = 10 - 5 \)

\( -5x - y = 5 \) (Уравнение 2)

Решаем систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x - 3y = -2 \\ -5x - y = 5 \end{cases} \)

Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -5x - 5 \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( 2x - 3(-5x - 5) = -2 \)

\( 2x + 15x + 15 = -2 \)

\( 17x = -2 - 15 \)

\( 17x = -17 \)

\( x = -1 \).

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = -1 \) в уравнение \( y = -5x - 5 \):

\( y = -5(-1) - 5 = 5 - 5 = 0 \).

Точка пересечения имеет координаты (-1; 0).

Ответ: Координата точки пересечения прямых MF и KE равна (-1; 0).