8. Постройте в координатной плоскости квадрат с вершинами в точках А(0;3), В(5;5), C(7;0), Д(2;-2)

Задание 8. Построение квадрата по координатам

Чтобы построить квадрат в координатной плоскости, нужно нанести заданные точки и соединить их отрезками в указанном порядке.

Координаты вершин:

• \( A(0;3) \)
• \( B(5;5) \)
• \( C(7;0) \)
• \( Д(2;-2) \)

Построение:

1. Начертим систему координат (оси x и y).
2. Отметим точку А: по оси x — 0, по оси y — 3.
3. Отметим точку B: по оси x — 5, по оси y — 5.
4. Отметим точку C: по оси x — 7, по оси y — 0.
5. Отметим точку Д: по оси x — 2, по оси y — -2.
6. Соединим точки последовательно: A → B → C → Д → A.

Проверка:

Нужно убедиться, что полученная фигура действительно является квадратом. Для этого нужно проверить равенство длин всех сторон и равенство диагоналей. Если это квадрат, то его стороны должны быть равны, а диагонали равны и пересекаются в середине.

Длины сторон (по теореме Пифагора):

• \( AB = \sqrt{(5-0)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \)
• \( BC = \sqrt{(7-5)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)
• \( CD = \sqrt{(2-7)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \)
• \( DA = \sqrt{(0-2)^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)

Все стороны равны \( \sqrt{29} \).

Длины диагоналей:

• \( AC = \sqrt{(7-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \)
• \( BD = \sqrt{(2-5)^2 + (-2-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \)

Диагонали равны \( \sqrt{58} \).

Так как все стороны равны и диагонали равны, фигура является квадратом.

Построение выполнено.